Indice
Introduzione alla geometria analitica dello spazio
Punti simmetrici rispetto agli assi e rispetto all'origine
Punti simmetrici rispetto ai piani coordinati
Distanza tra due punti nello spazio
Punto medio di un segmento
Equazione generale del piano
Piano passante per tre punti non allineati
Piani paralleli
Piani secanti e piani perpendicolari
L'equazione di una retta nello spazio
Vettori nello spazio
Vettori e oggetti geometrici nello spazio
Distanza di un punto da un piano
Distanza di un punto da una retta
L'equazione di una superficie sferica
Introduzione alla geometria analitica dello spazio
Il sistema di riferimento cartesiano ortogonale del piano può essere esteso allo spazio considerando tre rette orientate a due a due ortogonali dette asse x, asse y e asse z. Su questi assi è fissato, oltre al verso, una unità di misura e la loro comune intersezione detta origine del sistema di riferimento e indicata con la lettera maiuscola O.
Il piano che contiene gli assi x e y è detto piano xy, il piano che contiene gli assi x e z è detto piano xz e il piano che contiene gli assi y e z è detto piano yz. I tre piani xy, xz, yz sono detti piani coordinati e dividono lo spazio in otto parti detti ottanti.
Se consideriamo un punto P dello spazio possiamo tracciare i tre piani passanti per P e paralleli ai piani coordinati, individuando tre punti Px sull'asse x, Py sull'asse y, Pz sull'asse z ai quali corrispondono rispettivamente tre numeri reali x, y, z. I numeri x, y, z sono detti rispettivamente ascissa, ordinata e quota del punto P e costituiscono le coordinate di P. Per indicare che la terna ordinata x, y, z sono le coordinate di P si scrive P(x. y, z). Ad ogni punto P dello spazio corrisponde dunque un'unica terna di numeri reali; viceversa ogni terna ordinata di numeri reali individua uno e un solo punto P dello spazio. La coppia (x, y) individua il punto H, proiezione di P nel piano xy.
I punti che si trovano sull'asse x hanno ordinata e quota nulla; sono, cioè del tipo A(x, 0, 0) dove x è un qualsiasi numero reale.
I punti che si trovano sull'asse y hanno ascissa e quota nulla; sono, cioè del tipo A(0, y, 0) dove y è un qualsiasi numero reale.
I punti che si trovano sull'asse z hanno ascissa e ordinata nulla; sono, cioè del tipo A(0, 0, z) dove z è un qualsiasi numero reale.
I punti che si trovano sul piano coordinato xy hanno quota nulla; sono, cioè del tipo A(x, y, 0) dove x e y sono due qualsiasi numeri reali.
I punti che si trovano sul piano coordinato xz hanno ordinata nulla; sono, cioè del tipo A(x, 0, z) dove x e z sono due qualsiasi numeri reali.
I punti che si trovano sul piano coordinato yz hanno ascissa nulla; sono, cioè del tipo A(0, y, z) dove y e z sono due qualsiasi numeri reali.
Come vedremo spesso molte relazioni che valgono nel sistema cartesiano del piano possono essere estese nel sistema cartesiano dello spazio. Ad esempio:
